نکات تکمیلی برای محاسبه اساس مقطع پلاستیک در مقاطع I شکل و مقاطع ساخته‌شده فولادی
هدف:
در قسمت‌های قبل، روش کلی محاسبه اساس مقطع پلاستیک را برای مقاطع ساده و مرکب یاد گرفتیم. در این قسمت می‌خواهیم همین منطق را برای مقاطع پرکاربردتر فولادی، یعنی مقاطع I شکل و مقاطع ساخته‌شده از ورق بررسی کنیم.
هدف این قسمت حفظ کردن فرمول‌های زیاد نیست؛ بلکه می‌خواهیم یاد بگیریم در مقاطع واقعی فولادی، چگونه محل محور خنثی پلاستیک و مقدار Zp را درست تشخیص دهیم.
یادآوری قاعده اصلی:
اساس مقطع پلاستیک از رابطه کلی زیر به‌دست می‌آید:
Zp = Σ(Ai × yi)
در این رابطه:
Ai = مساحت هر بخش از مقطع
yi = فاصله مرکز آن بخش تا محور خنثی پلاستیک
پس برای هر مقطع، حتی اگر شکل آن پیچیده باشد، باید این مسیر را طی کنیم:
۱. مقطع را به بخش‌های ساده تقسیم کنیم.
۲. محور خنثی پلاستیک را پیدا کنیم.
۳. فاصله مرکز هر بخش تا محور خنثی پلاستیک را محاسبه کنیم.
۴. مجموع Ai × yi را به‌دست آوریم.
مقطع I شکل چیست؟
مقطع I شکل معمولاً از سه بخش اصلی تشکیل می‌شود:
بال فوقانی
جان
بال تحتانی
اگر مقطع I شکل متقارن باشد، یعنی بال بالا و پایین هم‌اندازه باشند و جان در وسط قرار گرفته باشد، محاسبه بسیار ساده‌تر می‌شود.
در این حالت، مقطع نسبت به محور افقی وسط ارتفاع متقارن است.
بنابراین برای خمش حول محور قوی، محور خنثی پلاستیک از وسط ارتفاع مقطع عبور می‌کند.
چرا در مقطع I متقارن، محور خنثی پلاستیک در وسط ارتفاع است؟
چون مقطع از بالا و پایین کاملاً متقارن است.
یعنی اگر مقطع را از وسط ارتفاع تقسیم کنیم، مساحت بالا و پایین برابر می‌شود.
پس شرط اصلی محور خنثی پلاستیک برقرار است:
مساحت ناحیه فشاری = مساحت ناحیه کششی
در نتیجه، در مقطع I شکل متقارن:
محور خنثی الاستیک و محور خنثی پلاستیک معمولاً بر هم منطبق‌اند.
البته این نتیجه فقط وقتی درست است که مقطع واقعاً نسبت به محور موردنظر متقارن باشد.
محاسبه Zp برای مقطع I شکل متقارن حول محور قوی:
فرض کنید مقطع I شکل زیر را داریم:
عرض بال = bf
ضخامت بال = tf
ضخامت جان = tw
ارتفاع کل مقطع = h
ارتفاع خالص جان = hw
ارتفاع خالص جان برابر است با:
hw = h - ۲tf
چون مقطع متقارن است، محور خنثی پلاستیک در وسط ارتفاع قرار می‌گیرد.
برای محاسبه Zp، کافی است سهم بال‌ها و جان را نسبت به محور خنثی پلاستیک حساب کنیم.
سهم بال‌ها:
مساحت هر بال:
Af = bf × tf
فاصله مرکز هر بال تا محور خنثی پلاستیک:
yf = h/۲ - tf/۲
چون دو بال داریم، سهم بال‌ها در Zp برابر است با:
۲ × Af × yf
یعنی:
۲ × (bf tf) × (h/۲ - tf/۲)
سهم جان:
جان به وسیله محور خنثی پلاستیک به دو نیمه مساوی تقسیم می‌شود.
برای جان با ارتفاع hw و ضخامت tw، سهم کل جان در اساس مقطع پلاستیک حول محور قوی برابر است با:
tw hw² / ۴
فرمول کلی Zp برای مقطع I متقارن حول محور قوی:
Zp = ۲(bf tf)(h/۲ - tf/۲) + tw hw² / ۴
یا با نوشتن hw:
Zp = ۲(bf tf)(h/۲ - tf/۲) + tw(h - ۲tf)² / ۴
این فرمول فقط برای مقطع I متقارن و برای خمش حول محور قوی قابل استفاده است.
معنای فیزیکی فرمول:
در مقطع I شکل، بخش زیادی از ظرفیت خمشی توسط بال‌ها تأمین می‌شود؛ چون بال‌ها از محور خنثی فاصله زیادی دارند.
در رابطه Zp = Σ(Ai × yi)، هرچه فاصله yi بیشتر باشد، سهم آن قسمت در مقاومت خمشی بیشتر می‌شود.
به همین دلیل، در تیرآهن‌ها و مقاطع I شکل، بال‌ها نقش بسیار مهمی در ظرفیت خمشی دارند.
جان نیز سهم دارد، اما چون بخش زیادی از جان نزدیک‌تر به محور خنثی قرار دارد، سهم آن معمولاً کمتر از بال‌هاست.
نکته آموزشی مهم:
در مقاطع I شکل، نباید فقط به مساحت نگاه کرد.
ممکن است مساحت جان قابل توجه باشد، اما چون نزدیک محور خنثی قرار دارد، اثر آن در Zp کمتر از بال‌ها باشد.
در خمش، فاصله از محور خنثی بسیار مهم است.
قاعده ساده:
قسمت‌های دورتر از محور خنثی، سهم بیشتری در Zp دارند.
مقاطع ساخته‌شده فولادی چیستند؟
مقاطع ساخته‌شده فولادی معمولاً از چند ورق تشکیل می‌شوند که با جوش یا پیچ به هم متصل شده‌اند.
برای مثال:
تیرورق‌ها
ستون‌های باکس ساخته‌شده
مقاطع I ساخته‌شده از سه ورق
مقاطع ناودانی دوبل
مقاطع مرکب ساخته‌شده از ورق و نبشی
در این مقاطع، شکل نهایی ممکن است شبیه I، T، L، جعبه‌ای یا ترکیبی باشد.
روش محاسبه Zp در مقاطع ساخته‌شده:
در مقاطع ساخته‌شده، روش محاسبه همان روش عمومی است:
ابتدا مقطع را به چند مستطیل یا شکل ساده تقسیم می‌کنیم.
بعد مساحت هر قسمت را محاسبه می‌کنیم.
سپس محور خنثی پلاستیک را از شرط تعادل نواحی فشاری و کششی پیدا می‌کنیم.
در نهایت:
Zp = Σ(Ai × yi)
نکته بسیار مهم در مقاطع ساخته‌شده:
در مقاطع ساخته‌شده، باید مراقب باشیم هیچ بخش از مقطع دوبار حساب نشود.
اگر چند ورق روی هم یا کنار هم قرار گرفته‌اند، هر ورق باید فقط یک بار در محاسبه مساحت وارد شود.
در مقاطع مرکب، بزرگ‌ترین خطا معمولاً از همین‌جا ایجاد می‌شود:
یا بخشی از مقطع دوبار حساب می‌شود؛
یا بخشی از مقطع اصلاً حساب نمی‌شود.
مقاطع ساخته‌شده متقارن:
اگر مقطع ساخته‌شده نسبت به محور خمش متقارن باشد، کار ساده‌تر است.
مثلاً یک تیرورق I شکل که از دو بال مساوی و یک جان مرکزی ساخته شده است، نسبت به محور افقی وسط ارتفاع متقارن است.
در این حالت، محور خنثی پلاستیک معمولاً از وسط ارتفاع عبور می‌کند.
اما باز هم باید ابتدا مطمئن شویم که مساحت بالا و پایین محور برابر است.
مقاطع ساخته‌شده نامتقارن:
اگر مقطع ساخته‌شده نامتقارن باشد، دیگر نمی‌توان محور خنثی پلاستیک را حدس زد.
مثلاً اگر بال فوقانی و بال تحتانی ضخامت یا عرض متفاوت داشته باشند، مقطع دیگر نسبت به محور افقی متقارن نیست.
در این حالت، محور خنثی پلاستیک ممکن است داخل بال بزرگ‌تر، داخل جان، یا در محل دیگری قرار گیرد.
پس باید حتماً مساحت‌ها را کنترل کنیم.
روش پیدا کردن محور خنثی پلاستیک در مقطع ساخته‌شده نامتقارن:
۱. مساحت کل مقطع را حساب کنید.
۲. نصف مساحت کل را به‌دست آورید.
۳. از یک سمت مقطع شروع کنید و مساحت قسمت‌ها را به‌ترتیب جمع کنید.
۴. هرجا مجموع مساحت به نصف مساحت کل رسید، محور خنثی پلاستیک همان‌جا قرار دارد.
۵. اگر نصف مساحت کل داخل یک ورق قرار گرفت، باید مقدار نفوذ محور داخل همان ورق را محاسبه کنید.
مثال مفهومی:
فرض کنید یک مقطع ساخته‌شده I شکل داریم که بال بالایی آن بزرگ‌تر از بال پایینی است.
در این حالت، چون مساحت بالایی بیشتر است، محور خنثی پلاستیک به سمت بال بزرگ‌تر جابه‌جا می‌شود.
علت ساده است:
برای اینکه مساحت بالا و پایین محور برابر شود، محور باید طوری قرار گیرد که بخشی از مساحت زیاد بالایی در یک طرف و بقیه مقطع در طرف دیگر قرار گیرد.
پس در مقاطع نامتقارن:
محور خنثی پلاستیک به سمت بخش پرمساحت‌تر مقطع جابه‌جا می‌شود.
اگر فولاد همه بخش‌ها یکسان باشد:
در بیشتر تست‌های ساده، فرض می‌شود همه قسمت‌های مقطع از یک فولاد ساخته شده‌اند و تنش تسلیم آن‌ها برابر است.
در این حالت، شرط محور خنثی پلاستیک همان برابری مساحت‌هاست:
مساحت فشاری = مساحت کششی
اگر فولاد بخش‌ها متفاوت باشد:
در مقاطع خاص، ممکن است قسمت‌های مختلف از فولادهایی با تنش تسلیم متفاوت ساخته شده باشند.
در این حالت، دیگر فقط برابری مساحت کافی نیست.
چون نیروی فشاری و کششی از رابطه زیر به‌دست می‌آید:
نیرو = Fy × A
پس اگر Fy بخش‌ها متفاوت باشد، شرط اصلی این است:
نیروی فشاری = نیروی کششی
نه صرفاً مساحت فشاری و کششی.
اما در بیشتر مسائل آموزشی و آزمونی مقدماتی، فرض می‌شود کل مقطع از یک فولاد یکسان ساخته شده است.
تفاوت Zp حول محور قوی و محور ضعیف:
مقطع I شکل دو محور اصلی دارد:
محور قوی
محور ضعیف
وقتی خمش حول محور قوی باشد، بال‌ها از محور خنثی فاصله زیادی دارند و ظرفیت خمشی زیاد است.
وقتی خمش حول محور ضعیف باشد، فاصله مؤثر قسمت‌های مقطع کمتر است و ظرفیت خمشی بسیار کمتر می‌شود.
پس برای مقطع I شکل، همیشه باید بدانیم خمش حول کدام محور بررسی می‌شود.
Zp حول محور قوی با Zp حول محور ضعیف فرق دارد.
دام آزمونی مهم:
در تست‌ها ممکن است فقط شکل مقطع داده شود، اما مشخص نباشد خمش حول کدام محور است.
در این حالت باید از صورت سؤال، جهت خمش، شکل بارگذاری یا محور خواسته‌شده را تشخیص داد.
اگر محور خمش اشتباه انتخاب شود، مقدار Zp کاملاً متفاوت خواهد شد.
کنترل واحد:
اساس مقطع پلاستیک همیشه باید واحد طول به توان سه داشته باشد.
مثلاً:
mm³
cm³
m³
اگر در محاسبه به واحد طول² یا طول⁴ رسیدید، یعنی احتمالاً اشتباه کرده‌اید.
جمع‌بندی نکات مقطع I شکل:
در مقطع I متقارن، برای خمش حول محور قوی، محور خنثی پلاستیک در وسط ارتفاع قرار دارد.
بال‌ها معمولاً بیشترین سهم را در ظرفیت خمشی دارند.
جان نیز در Zp مؤثر است، اما سهم آن معمولاً کمتر از بال‌هاست.
فرمول کلی برای I متقارن حول محور قوی:
Zp = ۲(bf tf)(h/۲ - tf/۲) + tw(h - ۲tf)² / ۴
این فرمول فقط زمانی قابل استفاده است که مقطع نسبت به محور خمش متقارن باشد.
جمع‌بندی نکات مقاطع ساخته‌شده:
در مقاطع ساخته‌شده، ابتدا باید مقطع را به ورق‌ها یا مستطیل‌های ساده تقسیم کرد.
هیچ قسمت مشترکی نباید دوبار حساب شود.
در مقاطع متقارن، محور خنثی پلاستیک معمولاً روی محور تقارن قرار می‌گیرد.
در مقاطع نامتقارن، محور خنثی پلاستیک باید با محاسبه و شرط برابری مساحت‌ها تعیین شود.
اگر تمام مقطع از یک فولاد باشد:
محور خنثی پلاستیک از برابری مساحت‌ها به‌دست می‌آید.
اگر بخش‌ها از فولادهای مختلف باشند:
محور خنثی پلاستیک از برابری نیروهای تسلیم فشاری و کششی به‌دست می‌آید.
چک‌لیست نهایی حل مقاطع I و ساخته‌شده:
۱. محور خمش را مشخص کنید.
۲. بررسی کنید مقطع نسبت به آن محور متقارن است یا نه.
۳. مقطع را به بخش‌های ساده تقسیم کنید.
۴. مساحت هر بخش را حساب کنید.
۵. محل محور خنثی پلاستیک را تعیین کنید.
۶. فاصله مرکز هر بخش تا محور خنثی پلاستیک را پیدا کنید.
۷. Zp را با رابطه Σ(Ai × yi) محاسبه کنید.
۸. واحد نهایی را کنترل کنید.
نکته پایانی:
در محاسبه اساس مقطع پلاستیک، مهم‌ترین مهارت این نیست که فرمول‌های زیاد حفظ کنیم.
مهم‌ترین مهارت این است که مقطع را درست ببینیم، درست تقسیم کنیم، محور خنثی پلاستیک را درست پیدا کنیم و فاصله‌ها را از همان محور اندازه بگیریم.
اگر این چهار کار درست انجام شود، محاسبه Zp برای بیشتر مقاطع فولادی قابل انجام است.