هدف این جزوه:
در این بخش می‌خواهیم رفتار پایه یک تیر دو سر گیردار را تحت بار گسترده یکنواخت بررسی کنیم؛ یعنی بفهمیم لنگر خمشی در کجاها ایجاد می‌شود، بیشترین مقدار لنگر کجاست، و رابطه مهم qL²/۱۲ از نظر آزمونی چه کاربردی دارد.
این مقدمه برای فهم اثر ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر ضروری است.
صورت مسئله پایه:
فرض کنید یک تیر به طول L داریم که دو انتهای آن گیردار است و در تمام طول تیر، بار گسترده یکنواخت q وارد می‌شود.
در این حالت:
دو انتهای تیر اجازه دوران ندارند؛
دو انتهای تیر اجازه جابه‌جایی قائم ندارند؛
بار در تمام طول تیر به‌صورت یکنواخت پخش شده است؛
تیر از نوع نامعین استاتیکی است.
تیر دو سر گیردار یعنی چه؟
در تیر دو سر گیردار، هر دو انتهای تیر به‌گونه‌ای مهار شده‌اند که دوران در تکیه‌گاه‌ها رخ نمی‌دهد.
یعنی انتهای چپ و راست تیر نمی‌توانند آزادانه بچرخند.
به همین دلیل، در تکیه‌گاه‌ها لنگر خمشی ایجاد می‌شود.
این نکته بسیار مهم است، چون در تیر ساده دو سر مفصل، لنگر تکیه‌گاهی صفر است؛ اما در تیر دو سر گیردار، لنگر تکیه‌گاهی صفر نیست.
رفتار کلی تیر تحت بار گسترده یکنواخت:
وقتی بار گسترده یکنواخت q روی تیر وارد می‌شود، تیر تمایل دارد به سمت پایین خم شود.
اما چون دو انتهای تیر گیردارند، تکیه‌گاه‌ها در برابر دوران انتهای تیر مقاومت می‌کنند.
این مقاومت باعث ایجاد لنگرهای منفی در دو انتهای تیر می‌شود.
در نتیجه، نمودار لنگر خمشی تیر دو سر گیردار شامل دو بخش مهم است:
لنگر منفی در دو تکیه‌گاه؛
لنگر مثبت در ناحیه میانی تیر.
روش محاسبه لنگر تکیه‌گاهی و لنگر وسط دهانه:
حالا که رفتار کلی تیر دو سر گیردار را شناختیم، بهتر است ببینیم دو مقدار مهم لنگر خمشی در این تیر چگونه به‌دست می‌آیند:
لنگر منفی در دو انتهای گیردار؛
لنگر مثبت در وسط دهانه.
در این بخش هنوز درباره مفصل داخلی صحبت نمی‌کنیم. فعلاً فقط همان تیر دو سر گیردار معمولی تحت بار گسترده یکنواخت q را بررسی می‌کنیم.
فرض علامت‌گذاری:
در این آموزش، لنگر مثبت را لنگر خندان در نظر می‌گیریم.
بنابراین:
لنگر وسط دهانه مثبت است؛
لنگرهای دو انتهای گیردار منفی هستند.
گام اول: لنگرهای انتهایی تیر دو سر گیردار
در تیر دو سر گیردار، دو انتهای تیر اجازه دوران ندارند. همین مهار دوران باعث ایجاد لنگرهای خمشی منفی در تکیه‌گاه‌ها می‌شود.
برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q در تمام طول L، لنگرهای انتهایی برابرند با:
M_A = M_B = - qL² / ۱۲
علامت منفی نشان می‌دهد که این لنگرها از نوع خمش منفی یا لنگر اخم هستند.
از نظر مقدار مطلق:
|M_A| = |M_B| = qL² / ۱۲
گام دوم: واکنش‌های قائم تکیه‌گاه‌ها
کل بار وارد بر تیر برابر است با:
qL
چون تیر و بارگذاری نسبت به وسط دهانه متقارن‌اند، واکنش‌های قائم دو تکیه‌گاه با هم برابرند:
R_A = R_B
از تعادل قائم داریم:
R_A + R_B = qL
پس:
R_A = R_B = qL / ۲
گام سوم: نوشتن رابطه لنگر در فاصله x از تکیه‌گاه چپ
اگر فاصله مقطع موردنظر از تکیه‌گاه چپ را x بنامیم، لنگر خمشی در آن مقطع از سه جزء تشکیل می‌شود:
لنگر ابتدایی تکیه‌گاه چپ؛
اثر واکنش قائم چپ؛
اثر بار گسترده وارد بر طول x.
بنابراین:
M(x) = M_A + R_A x - qx² / ۲
با جایگذاری مقادیر M_A و R_A داریم:
M(x) = - qL² / ۱۲ + (qL / ۲)x - qx² / ۲
این رابطه، معادله لنگر خمشی تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت است.
گام چهارم: محاسبه لنگر وسط دهانه
برای محاسبه لنگر وسط دهانه، مقدار x را برابر L/۲ قرار می‌دهیم:
x = L / ۲
پس:
M_mid = - qL² / ۱۲ + (qL / ۲)(L / ۲) - q(L / ۲)² / ۲
اکنون هر جمله را ساده می‌کنیم:
M_mid = - qL² / ۱۲ + qL² / ۴ - qL² / ۸
برای جمع کردن کسرها، مخرج مشترک ۲۴ می‌گیریم:
M_mid = - ۲qL² / ۲۴ + ۶qL² / ۲۴ - ۳qL² / ۲۴
پس:
M_mid = qL² / ۲۴
بنابراین لنگر وسط دهانه مثبت است و مقدار آن برابر است با:
M_mid = qL² / ۲۴
نتیجه این محاسبه:
اکنون دو مقدار مهم تیر دو سر گیردار را به‌دست آوردیم:
لنگر منفی در دو انتهای گیردار:
M_A = M_B = - qL² / ۱۲
لنگر مثبت وسط دهانه:
M_mid = qL² / ۲۴
در بخش بعدی، همین مقادیر را به‌صورت خلاصه و آزمونی بررسی می‌کنیم و مشخص می‌کنیم حداکثر لنگر خمشی تیر در کدام قسمت رخ می‌دهد.
نکته آموزشی:
در رسم نمودار لنگر خمشی، نباید فقط شکل نمودار را حدس زد. رابطه M(x) نشان می‌دهد نمودار لنگر در دو انتها منفی و در ناحیه میانی مثبت است.
اگر بخواهیم محل دقیق نقاطی را که لنگر در آن‌ها صفر می‌شود پیدا کنیم، باید معادله زیر را حل کنیم:
M(x) = ۰
یعنی:
- qL² / ۱۲ + (qL / ۲)x - qx² / ۲ = ۰
پس محل عبور نمودار از محور صفر، نتیجه محاسبه است، نه ترسیم حدسی.
مقادیر مهم لنگر خمشی:
برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q در طول L، مقدار لنگر خمشی در دو انتهای گیردار برابر است با:
M_A = M_B = - qL² / ۱۲
علامت منفی نشان می‌دهد که لنگر تکیه‌گاهی از نوع خمش منفی است.
از نظر مقدار مطلق:
|M_A| = |M_B| = qL² / ۱۲
در وسط دهانه نیز لنگر مثبت ایجاد می‌شود که مقدار آن برابر است با:
M_mid = qL² / ۲۴
بنابراین در این تیر:
لنگر منفی تکیه‌گاهی = qL² / ۱۲
لنگر مثبت وسط دهانه = qL² / ۲۴
حداکثر لنگر خمشی کجاست؟
برای پیدا کردن حداکثر لنگر خمشی، باید مقدار مطلق لنگرها را مقایسه کنیم.
در تکیه‌گاه‌ها:
|M| = qL² / ۱۲
در وسط دهانه:
M = qL² / ۲۴
چون:
qL² / ۱۲ > qL² / ۲۴
پس حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، در دو انتهای گیردار ایجاد می‌شود.
بنابراین:
Mmax = qL² / ۱۲
نکته مهم درباره علامت لنگر:
در مسائل آزمونی، معمولاً وقتی از «حداکثر لنگر خمشی» صحبت می‌شود، منظور مقدار مطلق لنگر است، نه علامت آن.
پس اگر در تکیه‌گاه لنگر منفی qL²/۱۲ داشته باشیم و در وسط دهانه لنگر مثبت qL²/۲۴، حداکثر لنگر از نظر مقدار، همان qL²/۱۲ است.
چرا لنگر تکیه‌گاهی از لنگر وسط بیشتر است؟
چون تکیه‌گاه‌های گیردار اجازه دوران نمی‌دهند.
در تیر ساده، انتهای تیر می‌تواند بچرخد و به همین دلیل لنگر تکیه‌گاهی صفر است.
اما در تیر دو سر گیردار، تکیه‌گاه‌ها دوران را مهار می‌کنند. این مهار دوران باعث ایجاد لنگرهای منفی بزرگ در دو انتهای تیر می‌شود.
به همین دلیل، در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، مقدار لنگر منفی تکیه‌گاهی از لنگر مثبت وسط دهانه بیشتر است.
مقایسه با تیر ساده دو سر مفصل:
برای تیر ساده دو سر مفصل تحت بار گسترده یکنواخت q، حداکثر لنگر خمشی در وسط دهانه برابر است با:
Mmax = qL² / ۸
اما برای تیر دو سر گیردار تحت همان بار:
Mmax = qL² / ۱۲
پس تیر دو سر گیردار، به علت مهار دوران در دو انتها، نسبت به تیر ساده رفتار سخت‌تر و مقاوم‌تری دارد و مقدار حداکثر لنگر آن در حالت اولیه کمتر از تیر ساده است.
البته باید دقت کرد که توزیع لنگر در تیر دو سر گیردار متفاوت است؛ بخشی از لنگر به تکیه‌گاه‌ها منتقل می‌شود و فقط وسط دهانه بحرانی نیست.
روابط کلیدی این جزوه:
برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q:
لنگر دو انتهای گیردار:
M_A = M_B = - qL² / ۱۲
لنگر مثبت وسط دهانه:
M_mid = qL² / ۲۴
حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی:
Mmax = qL² / ۱۲
کاربرد این روابط در تست مفصل داخلی:
در تستی که بعداً بررسی می‌کنیم، ابتدا تیر یک تیر دو سر گیردار معمولی است.
پس قبل از ایجاد مفصل داخلی، حداکثر لنگر خمشی تیر برابر است با:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
این مقدار، مبنای مقایسه ما خواهد بود.
بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر، سیستم سازه‌ای تغییر می‌کند و دیگر نمی‌توان همان رابطه qL²/۱۲ را برای کل تیر استفاده کرد.
به همین دلیل، باید حالت قبل و بعد از ایجاد مفصل را جداگانه تحلیل کنیم.
دام آزمونی مهم:
یکی از اشتباهات رایج این است که دانشجو فقط به بارگذاری نگاه می‌کند و چون بار همچنان q است، تصور می‌کند حداکثر لنگر تغییر نمی‌کند.
اما در تحلیل سازه، فقط مقدار بار مهم نیست.
نوع تکیه‌گاه‌ها، وجود یا عدم وجود مفصل داخلی، و پیوستگی خمشی تیر نیز در مقدار لنگرها اثر دارند.
پس اگر سیستم سازه‌ای تغییر کند، حتی با همان بار q، نمودار لنگر خمشی نیز تغییر خواهد کرد.
جمع‌بندی جزوه ۱:
تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، یک تیر نامعین است.
در این تیر، به علت مهار دوران در دو انتها، لنگر منفی در تکیه‌گاه‌ها ایجاد می‌شود.
لنگر تکیه‌گاهی برابر است با:
qL² / ۱۲
لنگر مثبت وسط دهانه برابر است با:
qL² / ۲۴
حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی در تکیه‌گاه‌ها رخ می‌دهد و مقدار آن برابر است با:
Mmax = qL² / ۱۲
این رابطه، مقدار حداکثر لنگر قبل از ایجاد مفصل داخلی است و در جزوه‌های بعدی با حالت پس از ایجاد مفصل مقایسه خواهد شد.
تمرین کوتاه:
یک تیر دو سر گیردار به طول ۶ متر تحت بار گسترده یکنواخت q = ۱۰ kN/m قرار دارد.
حداکثر لنگر خمشی تیر را محاسبه کنید.
راهنمای حل:
Mmax = qL² / ۱۲
Mmax = ۱۰ × ۶² / ۱۲
Mmax = ۱۰ × ۳۶ / ۱۲
Mmax = ۳۰ kN.m
پس حداکثر لنگر خمشی تیر برابر است با:
۳۰ kN.m
