هدف این جزوه:
در این بخش، چند تست مشابه را حل می‌کنیم تا روش تشخیص سیستم سازه‌ای، تعیین حداکثر لنگر قبل و بعد از ایجاد مفصل، و مقایسه نسبت تغییر کاملاً جا بیفتد.
در همه تست‌ها باید این قاعده را به خاطر داشته باشیم:
قبل از ایجاد مفصل در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر:
هر نیمه مانند یک تیر طره‌ای به طول L/۲ رفتار می‌کند.
پس:
Mmax(after) = qL² / ۸
و نسبت تغییر برابر است با:
Mmax(after) / Mmax(before) = ۱.۵
تست مشابه ۱:
یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد. اگر در وسط دهانه تیر یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، مقدار لنگر خمشی در محل مفصل چقدر است؟
۱ - qL² / ۸
۲ - qL² / ۱۲
۳ - صفر
۴ - qL² / ۲۴
پاسخ:
گزینه ۳ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
ویژگی اصلی مفصل خمشی داخلی این است که لنگر خمشی را منتقل نمی‌کند. بنابراین در محل مفصل خمشی داخلی همیشه داریم:
M_hinge = ۰
پس اگر مفصل در وسط تیر ایجاد شود، مقدار لنگر خمشی دقیقاً در همان نقطه صفر است.
نکته آزمونی:
مفصل داخلی یعنی محل قطع انتقال لنگر خمشی.
پس در محل مفصل:
M = ۰
اما این به معنی صفر شدن لنگر در کل تیر نیست.
تست مشابه ۲:
یک تیر دو سر گیردار به طول L تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد. حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی تیر قبل از ایجاد هرگونه مفصل داخلی کدام است؟
۱ - qL² / ۸
۲ - qL² / ۱۲
۳ - qL² / ۲۴
۴ - qL² / ۲
پاسخ:
گزینه ۲ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، لنگرهای منفی در دو انتهای گیردار ایجاد می‌شوند و مقدار آن‌ها برابر است با:
M_A = M_B = - qL² / ۱۲
از نظر قدرمطلق:
|M_A| = |M_B| = qL² / ۱۲
لنگر مثبت وسط دهانه نیز برابر است با:
M_mid = qL² / ۲۴
چون:
qL² / ۱۲ > qL² / ۲۴
پس حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی در دو انتهای گیردار رخ می‌دهد و مقدار آن برابر است با:
Mmax = qL² / ۱۲
نکته آزمونی:
در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، بیشترین قدرمطلق لنگر خمشی در تکیه‌گاه‌های گیردار است، نه در وسط دهانه.
تست مشابه ۳:
یک تیر دو سر گیردار به طول L تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد. اگر در وسط تیر یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی بعد از ایجاد مفصل چقدر است؟
۱ - qL² / ۱۲
۲ - qL² / ۲۴
۳ - qL² / ۸
۴ - qL² / ۴
پاسخ:
گزینه ۳ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، لنگر در محل مفصل صفر می‌شود:
M_hinge = ۰
به دلیل تقارن، هر نیمه تیر مانند یک تیر طره‌ای به طول L/۲ رفتار می‌کند.
برای تیر طره‌ای به طول l تحت بار گسترده یکنواخت q داریم:
Mmax = ql² / ۲
در این تست:
l = L / ۲
پس:
Mmax(after) = q(L/۲)² / ۲
Mmax(after) = q(L²/۴) / ۲
Mmax(after) = qL² / ۸
بنابراین حداکثر قدرمطلق لنگر پس از ایجاد مفصل برابر است با:
qL² / ۸
نکته آزمونی:
بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر، نباید کل تیر را دوباره دو سر گیردار تحلیل کرد.
سیستم جدید معادل دو طره به طول L/۲ است.
تست مشابه ۴:
در یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q، اگر در وسط تیر یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر لنگر خمشی چند برابر حالت قبل می‌شود؟
۱ - ۱.۵ برابر
۲ - نصف
۳ - بدون تغییر
۴ - ۴/۳ برابر
پاسخ:
گزینه ۱ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
قبل از ایجاد مفصل:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
بعد از ایجاد مفصل:
Mmax(after) = qL² / ۸
برای محاسبه نسبت تغییر داریم:
نسبت تغییر = Mmax(after) / Mmax(before)
نسبت تغییر = (qL² / ۸) / (qL² / ۱۲)
qL² از صورت و مخرج حذف می‌شود:
نسبت تغییر = ۱۲ / ۸
نسبت تغییر = ۳ / ۲
نسبت تغییر = ۱.۵
پس حداکثر لنگر خمشی ۱٫۵ برابر می‌شود.
نکته آزمونی:
در این نوع تست‌ها، اگر گزینه‌ها به‌صورت «چند برابر» باشند، باید مقدار بعد از تغییر را بر مقدار قبل از تغییر تقسیم کنیم.
تست مشابه ۵:
یک تیر دو سر گیردار به طول ۶ متر تحت بار گسترده یکنواخت q = ۱۰ kN/m قرار دارد. اگر در وسط تیر یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر لنگر خمشی بعد از ایجاد مفصل چقدر است؟
۱ - ۳۰ kN.m
۲ - ۴۵ kN.m
۳ - ۶۰ kN.m
۴ - ۹۰ kN.m
پاسخ:
گزینه ۲ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
پس از ایجاد مفصل در وسط تیر، هر نیمه تیر مانند یک طره به طول L/۲ رفتار می‌کند.
طول کل تیر:
L = ۶ m
طول هر نیمه:
l = L / ۲ = ۶ / ۲ = ۳ m
رابطه حداکثر لنگر تیر طره‌ای تحت بار گسترده یکنواخت:
Mmax = ql² / ۲
جایگذاری:
Mmax = ۱۰ × ۳² / ۲
Mmax = ۱۰ × ۹ / ۲
Mmax = ۹۰ / ۲
Mmax = ۴۵ kN.m
پس حداکثر لنگر خمشی بعد از ایجاد مفصل برابر است با:
۴۵ kN.m
نکته آزمونی:
در حالت بعد از ایجاد مفصل، طول مؤثر برای محاسبه هر نیمه، L/۲ است؛ نه L.
تست مشابه ۶:
یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد. قبل از ایجاد مفصل داخلی، حداکثر لنگر خمشی تیر برابر ۴۰ kN.m است. اگر در وسط تیر مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر لنگر خمشی جدید چقدر می‌شود؟
۱ - ۲۰ kN.m
۲ - ۴۰ kN.m
۳ - ۵۳.۳ kN.m
۴ - ۶۰ kN.m
پاسخ:
گزینه ۴ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
در این مسئله لازم نیست q و L را جداگانه بدانیم. از نسبت تغییر استفاده می‌کنیم.
می‌دانیم پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، حداکثر لنگر خمشی ۱٫۵ برابر حالت قبل می‌شود.
پس:
Mmax(after) = ۱.۵ × Mmax(before)
Mmax(after) = ۱.۵ × ۴۰
Mmax(after) = ۶۰ kN.m
بنابراین حداکثر لنگر خمشی جدید برابر است با:
۶۰ kN.m
نکته آزمونی:
اگر مقدار حداکثر لنگر قبل از ایجاد مفصل داده شده باشد، برای به‌دست آوردن مقدار بعد از ایجاد مفصل کافی است آن را در ۱.۵ ضرب کنیم.
تست مشابه ۷:
در یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، کدام عبارت درست است؟
۱ - لنگر در محل مفصل صفر می‌شود و حداکثر لنگر کل تیر نیز حتماً کاهش می‌یابد.
۲ - لنگر در محل مفصل صفر می‌شود، اما حداکثر لنگر کل تیر می‌تواند افزایش یابد.
۳ - ایجاد مفصل داخلی هیچ اثری بر نمودار لنگر ندارد.
۴ - مفصل داخلی مانند یک تکیه‌گاه خارجی جدید عمل می‌کند.
پاسخ:
گزینه ۲ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
مفصل داخلی باعث می‌شود لنگر در همان نقطه صفر شود:
M_hinge = ۰
اما این موضوع به‌تنهایی نشان نمی‌دهد که حداکثر لنگر کل تیر کاهش پیدا می‌کند.
در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، ایجاد مفصل در وسط تیر باعث می‌شود هر نیمه مانند یک تیر طره‌ای عمل کند. در نتیجه، حداکثر لنگر خمشی از qL²/۱۲ به qL²/۸ افزایش می‌یابد.
بنابراین:
لنگر در محل مفصل صفر می‌شود؛
اما حداکثر لنگر کل تیر افزایش پیدا می‌کند.
نکته آزمونی:
صفر شدن لنگر در یک نقطه را با کاهش حداکثر لنگر کل تیر اشتباه نگیرید.
تست مشابه ۸:
کدام گزینه درباره مفصل خمشی داخلی درست است؟
۱ - مفصل داخلی لنگر خمشی را منتقل نمی‌کند.
۲ - مفصل داخلی همیشه نیروی برشی را صفر می‌کند.
۳ - مفصل داخلی همیشه یک تکیه‌گاه خارجی جدید است.
۴ - مفصل داخلی باعث می‌شود کل تیر بدون لنگر شود.
پاسخ:
گزینه ۱ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
ویژگی اصلی مفصل خمشی داخلی این است که لنگر خمشی را منتقل نمی‌کند. بنابراین در محل مفصل داریم:
M = ۰
اما این به معنی صفر بودن کل لنگر تیر نیست.
همچنین مفصل داخلی الزاماً تکیه‌گاه خارجی نیست و لزوماً واکنش خارجی جدید ایجاد نمی‌کند.
درباره نیروی برشی نیز باید دقت کرد؛ مفصل داخلی به‌طور کلی لنگر را صفر می‌کند، نه اینکه در همه مسائل نیروی برشی را هم صفر کند. در مسئله تیر دو سر گیردار با مفصل وسط، صفر شدن برش در وسط به علت تقارن بارگذاری است، نه صرفاً به علت وجود مفصل.
نکته آزمونی:
مفصل خمشی داخلی یعنی:
M = ۰
اما V الزاماً همیشه صفر نیست.
تست مشابه ۹:
در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، چرا هر نیمه مانند یک تیر طره‌ای رفتار می‌کند؟
۱ - چون بار q حذف می‌شود.
۲ - چون تکیه‌گاه‌های دو انتها از بین می‌روند.
۳ - چون انتقال لنگر در وسط قطع می‌شود و هر نیمه بین یک انتهای گیردار و محل مفصل بررسی می‌شود.
۴ - چون طول تیر دو برابر می‌شود.
پاسخ:
گزینه ۳ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
بعد از ایجاد مفصل داخلی، در محل وسط تیر لنگر خمشی صفر می‌شود و انتقال لنگر از یک طرف به طرف دیگر قطع می‌گردد.
بنابراین تیر از نظر خمشی به دو نیمه تقسیم می‌شود.
هر نیمه از یک طرف به تکیه‌گاه گیردار متصل است و از طرف دیگر به محل مفصل می‌رسد؛ یعنی از نظر خمشی مانند یک طره تحت بار گسترده یکنواخت تحلیل می‌شود.
نکته آزمونی:
در این مسئله، تبدیل شدن هر نیمه به طره نتیجه تغییر سیستم سازه‌ای است؛ نه تغییر مقدار بار.
تست مشابه ۱۰:
در تحلیل تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، کدام طول باید در رابطه تیر طره‌ای Mmax = ql² / ۲ قرار داده شود؟
۱ - L
۲ - ۲L
۳ - L/۲
۴ - L/۴
پاسخ:
گزینه ۳ صحیح است.
پاسخ تشریحی:
بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر، تیر از نظر خمشی به دو نیمه تقسیم می‌شود.
طول کل تیر L است، اما طول هر نیمه برابر است با:
l = L / ۲
چون هر نیمه مانند یک تیر طره‌ای عمل می‌کند، در رابطه تیر طره‌ای باید طول هر نیمه را قرار دهیم، نه طول کل تیر.
پس:
Mmax = q(L/۲)² / ۲
و نتیجه:
Mmax = qL² / ۸
نکته آزمونی:
در رابطه تیر طره‌ای، l طول همان طره است؛ در این مسئله، طول طره برابر L/۲ است.
جمع‌بندی حل تست‌های مشابه:
برای تست‌های مربوط به مفصل داخلی در وسط تیر دو سر گیردار، این مسیر را حفظ کنید:
قبل از مفصل:
تیر دو سر گیردار پیوسته است.
Mmax(before) = qL² / ۱۲
بعد از مفصل:
هر نیمه مانند تیر طره‌ای به طول L/۲ است.
Mmax(after) = qL² / ۸
نسبت تغییر:
Mmax(after) / Mmax(before) = ۱.۵
بنابراین اگر سؤال بپرسد «حداکثر لنگر چقدر تغییر می‌کند؟»، پاسخ:
۱٫۵ برابر می‌شود.
تمرین پایانی:
یک تیر دو سر گیردار به طول ۱۰ متر تحت بار گسترده یکنواخت q = ۸ kN/m قرار دارد. اگر در وسط تیر مفصل خمشی داخلی ایجاد شود:
الف) حداکثر لنگر قبل از ایجاد مفصل چقدر است؟
ب) حداکثر لنگر بعد از ایجاد مفصل چقدر است؟
ج) نسبت تغییر چقدر است؟
حل:
الف) قبل از ایجاد مفصل:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
Mmax(before) = ۸ × ۱۰² / ۱۲
Mmax(before) = ۸ × ۱۰۰ / ۱۲
Mmax(before) = ۸۰۰ / ۱۲
Mmax(before) = ۶۶.۶۷ kN.m
ب) بعد از ایجاد مفصل:
Mmax(after) = qL² / ۸
Mmax(after) = ۸ × ۱۰² / ۸
Mmax(after) = ۸ × ۱۰۰ / ۸
Mmax(after) = ۱۰۰ kN.m
ج) نسبت تغییر:
نسبت تغییر = ۱۰۰ / ۶۶.۶۷
نسبت تغییر ≈ ۱.۵
پس حداکثر لنگر خمشی پس از ایجاد مفصل، ۱٫۵ برابر حالت قبل می‌شود.
