جزوه ۵ تحلیل تیرها و قاب‌ها

در جزوه‌های قبل یاد گرفتیم که ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر دو سر گیردار، لنگر همان نقطه را صفر می‌کند، اما هم‌زمان سیستم سازه‌ای را تغییر می‌دهد. در این جزوه می‌خواهیم دام‌های رایج آزمونی را بررسی کنیم تا در تست‌هایی که درباره مفصل داخلی، تیر دو سر گیردار، تیر طره‌ای و تغییر حداکثر لنگر خمشی مطرح می‌شوند، دچار خطای مفهومی نشویم.

مهم‌ترین دام این تست همین است.

در محل مفصل خمشی داخلی همیشه داریم:

M_hinge = ۰

اما این فقط درباره همان نقطه است.

یعنی مفصل داخلی باعث می‌شود لنگر خمشی در محل مفصل صفر شود، ولی الزاماً باعث کاهش حداکثر لنگر در کل تیر نمی‌شود.

در مثال تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، قبل از ایجاد مفصل داریم:

M_max(before) = qL² / ۱۲

اما بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر، هر نیمه مانند یک طره به طول L/۲ عمل می‌کند و داریم:

M_max(after) = qL² / ۸

چون:

qL² / ۸ > qL² / ۱۲

پس با وجود اینکه لنگر وسط تیر صفر شده است، حداکثر لنگر خمشی کل تیر افزایش یافته است.

صفر شدن لنگر در یک نقطه، الزاماً به معنی کاهش حداکثر لنگر کل سازه نیست.

قبل از ایجاد مفصل، تیر یک عضو پیوسته دو سر گیردار است.

اما پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، انتقال لنگر در وسط قطع می‌شود و تیر از نظر خمشی به دو نیمه تقسیم می‌گردد.

بنابراین بعد از ایجاد مفصل، نباید همچنان از رابطه تیر دو سر گیردار استفاده کنیم.

اشتباه رایج این است که داوطلب برای حالت بعد از ایجاد مفصل نیز بنویسد:

M_max = qL² / ۱۲

در حالی که این رابطه مربوط به تیر دو سر گیردار پیوسته است، نه تیر دارای مفصل داخلی در وسط.

در حالت بعد از ایجاد مفصل، هر نیمه مانند یک طره به طول L/۲ عمل می‌کند. پس باید از رابطه تیر طره‌ای استفاده شود:

M_max = ql² / ۲

و چون:

l = L / ۲

داریم:

M_max(after) = q(L/۲)² / ۲ = qL² / ۸

بعد از تغییر سیستم سازه‌ای، روابط حالت قبل را بدون بررسی دوباره به کار نبرید.

بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر، کل طول تیر همچنان L است، اما هر نیمه طولی برابر L/۲ دارد.

در محاسبه لنگر هر نیمه، باید طول طره را برابر L/۲ بگیریم، نه L.

رابطه تیر طره‌ای تحت بار گسترده یکنواخت:

M_max = ql² / ۲

در این مسئله:

l = L / ۲

پس:

M_max = q(L/۲)² / ۲

اگر کسی اشتباهاً l را برابر L بگیرد، به مقدار qL²/۲ می‌رسد که کاملاً نادرست و بسیار بزرگ‌تر از مقدار واقعی است.

در مسائل بعد از ایجاد مفصل وسط دهانه، طول مؤثر هر نیمه را جداگانه تعیین کنید.

صورت سؤال معمولاً می‌پرسد:

«حداکثر لنگر خمشی چقدر تغییر می‌کند؟»

در چنین تستی، اگر گزینه‌ها به‌صورت «۱٫۵ برابر»، «نصف»، «۴/۳ برابر» و مانند آن باشند، سؤال نسبت تغییر را می‌خواهد، نه مقدار اختلاف.

پس باید بنویسیم:

نسبت تغییر = M_max(after) / M_max(before)

در این مسئله:

M_max(after) = qL² / ۸

M_max(before) = qL² / ۱۲

پس:

نسبت تغییر = (qL² / ۸) / (qL² / ۱۲)

نسبت تغییر = ۱۲ / ۸ = ۳ / ۲ = ۱.۵

بنابراین پاسخ «۱٫۵ برابر می‌شود» است، نه اینکه فقط اختلاف دو مقدار را حساب کنیم.

اگر گزینه‌ها نسبتی هستند، مقدار بعد را بر مقدار قبل تقسیم کنید.

در تیر دو سر گیردار، لنگرهای تکیه‌گاهی معمولاً منفی هستند:

M_A = M_B = - qL² / ۱۲

اما وقتی از «حداکثر لنگر خمشی» صحبت می‌شود، معمولاً منظور بیشترین قدرمطلق لنگر است.

پس برای مقایسه، مقدارها را از نظر بزرگی بررسی می‌کنیم:

|M_A| = qL² / ۱۲

بعد از ایجاد مفصل نیز لنگر در انتهای گیردار هر نیمه از نظر علامت منفی است، اما مقدار حداکثر قدرمطلق آن برابر است با:

|M_max(after)| = qL² / ۸

پس در مقایسه حداکثرها، علامت منفی باعث نمی‌شود مقدار کمتر در نظر گرفته شود.

در پرسش‌های مربوط به حداکثر لنگر خمشی، معمولاً قدرمطلق لنگر ملاک است، مگر اینکه صورت سؤال صریحاً علامت را بخواهد.

مفصل داخلی داخل عضو قرار دارد و تکیه‌گاه خارجی نیست.

یعنی در محل مفصل داخلی، واکنش خارجی جدیدی از زمین ایجاد نمی‌شود.

مفصل داخلی فقط انتقال لنگر خمشی را قطع می‌کند و باعث می‌شود:

M_hinge = ۰

اما تکیه‌گاه مفصلی محل اتصال سازه به تکیه‌گاه خارجی است و می‌تواند واکنش‌های تکیه‌گاهی ایجاد کند.

پس اگر در وسط تیر یک مفصل داخلی ایجاد شود، نباید آن نقطه را مانند یک تکیه‌گاه جدید روی زمین در نظر گرفت، مگر اینکه در صورت سؤال واقعاً تکیه‌گاه خارجی هم معرفی شده باشد.

مفصل داخلی، تکیه‌گاه خارجی نیست؛ فقط انتقال لنگر را در داخل عضو قطع می‌کند.

در نمودار لنگر خمشی، ممکن است در بعضی نقاط لنگر برابر صفر شود. اما صفر شدن لنگر در یک نقطه الزاماً به معنی وجود مفصل داخلی نیست.

برای مثال، در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، نمودار لنگر در دو نقطه از محور صفر عبور می‌کند، اما آن نقاط مفصل داخلی نیستند.

مفصل داخلی یک ویژگی فیزیکی یا تحلیلی در سازه است که در صورت مسئله مشخص می‌شود یا در مدل سازه وجود دارد.

بنابراین:

وجود مفصل داخلی → حتماً M = ۰ در محل مفصل

اما:

M = ۰ در یک نقطه → الزاماً به معنی وجود مفصل داخلی نیست

بین «نقطه صفر لنگر» و «مفصل داخلی» تفاوت بگذارید.

در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، نمودار لنگر دارای بخش منفی در دو انتها و بخش مثبت در ناحیه میانی است.

اما محل عبور نمودار از محور صفر را نباید حدسی تعیین کرد.

برای حالت قبل از ایجاد مفصل، معادله لنگر چنین است:

M(x) = - qL² / ۱۲ + (qL / ۲)x - qx² / ۲

نقاط صفر لنگر از حل رابطه زیر به‌دست می‌آیند:

M(x) = ۰

پس اگر در تصویر یا حل، نقاط صفر بدون محاسبه و فقط به‌صورت تقریبی در محل‌های ساده مثل L/۴ و ۳L/۴ گذاشته شوند، ممکن است از نظر علمی دقیق نباشد.

شکل نمودار لنگر باید با روابط تحلیلی سازگار باشد، نه صرفاً با حدس ظاهری.

ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر فقط باعث صفر شدن لنگر در همان نقطه نمی‌شود.

این مفصل می‌تواند کل سیستم سازه‌ای را تغییر دهد.

در مثال ما، قبل از مفصل، تیر یک تیر دو سر گیردار پیوسته است.

بعد از مفصل، تیر از نظر خمشی به دو نیمه طره‌ای تبدیل می‌شود.

پس اثر مفصل داخلی، هم موضعی است و هم کلی:

موضعی است، چون در محل مفصل M = ۰ می‌شود.

کلی است، چون توزیع لنگر کل تیر تغییر می‌کند.

هر تغییری در اتصال یا پیوستگی خمشی می‌تواند کل نمودار لنگر را تغییر دهد.

در این تست، بار گسترده یکنواخت q قبل و بعد از ایجاد مفصل همان است.

اما چون سیستم سازه‌ای تغییر کرده، حداکثر لنگر هم تغییر می‌کند.

پس نباید فقط به ثابت بودن بار توجه کنیم.

در تحلیل سازه، مقدار لنگر تابع چند عامل است:

نوع بارگذاری؛

طول دهانه؛

نوع تکیه‌گاه‌ها؛

وجود یا عدم وجود مفصل داخلی؛

پیوستگی یا ناپیوستگی خمشی عضو.

در این مسئله، بار q ثابت است، اما پیوستگی خمشی در وسط تیر قطع شده است؛ بنابراین توزیع لنگر تغییر می‌کند.

ثابت بودن بار به معنی ثابت ماندن لنگر نیست؛ اگر سیستم سازه‌ای تغییر کند، پاسخ سازه نیز تغییر می‌کند.

برای حل تست‌هایی درباره مفصل داخلی و تغییر حداکثر لنگر، این ترتیب را رعایت کنید:

۱. سیستم اولیه را تشخیص دهید.

۲. حداکثر لنگر سیستم اولیه را محاسبه کنید.

۳. اثر مفصل داخلی را مشخص کنید.

۴. سیستم جدید را پس از ایجاد مفصل تحلیل کنید.

۵. حداکثر لنگر سیستم جدید را به‌دست آورید.

۶. اگر سؤال نسبت تغییر را می‌خواهد، مقدار بعد را بر مقدار قبل تقسیم کنید.

۷. اگر سؤال مقدار نهایی را می‌خواهد، همان مقدار جدید را گزارش کنید.

۸. در مقایسه حداکثرها، به قدرمطلق لنگر توجه کنید.

برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت:

قبل از ایجاد مفصل داخلی:

M_max(before) = qL² / ۱۲

بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر:

M_max(after) = qL² / ۸

نسبت تغییر:

M_max(after) / M_max(before) = ۱.۵

پس:

ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر دو سر گیردار باعث می‌شود حداکثر لنگر خمشی ۱٫۵ برابر شود.

مفصل داخلی لنگر محل خود را صفر می‌کند، اما الزاماً حداکثر لنگر کل تیر را کاهش نمی‌دهد.

بعد از ایجاد مفصل، باید سیستم جدید را تحلیل کرد.

در این مسئله، سیستم جدید معادل دو تیر طره‌ای به طول L/۲ است.

حداکثر لنگر قبل از مفصل qL²/۱۲ و بعد از مفصل qL²/۸ است.

نسبت تغییر برابر ۱.۵ است.

مهم‌ترین دام آزمونی این است که صفر شدن لنگر در وسط تیر را با کاهش حداکثر لنگر کل تیر اشتباه بگیریم.

در یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، حداکثر لنگر خمشی افزایش پیدا می‌کند یا کاهش؟

پاسخ:

افزایش پیدا می‌کند.

چون مقدار حداکثر لنگر از qL²/۱۲ به qL²/۸ تغییر می‌کند و qL²/۸ بزرگ‌تر از qL²/۱۲ است.

نسبت افزایش:

(qL²/۸) / (qL²/۱۲) = ۱.۵