محاسبه اساس مقطع پلاستیک برای مقاطع مرکب ساده مثل T و L
هدف:
در این قسمت یاد می‌گیریم وقتی مقطع فقط یک مستطیل ساده نیست، بلکه از چند مستطیل تشکیل شده است، چگونه اساس مقطع پلاستیک یا Zp را محاسبه کنیم.
مهم‌ترین مقاطع این قسمت، مقطع T شکل و مقطع L شکل هستند.
ایده اصلی:
در مقاطع مرکب، نباید دنبال یک فرمول حفظی ثابت باشیم.
روش درست این است که مقطع را به چند مستطیل ساده تقسیم کنیم و سپس با همان منطق قبلی جلو برویم.
قاعده اصلی هنوز همان است:
محور خنثی پلاستیک باید مقطع را به دو قسمت با مساحت مساوی تقسیم کند.
یعنی:
مساحت ناحیه فشاری = مساحت ناحیه کششی = نصف مساحت کل مقطع
پس در هر مقطع مرکب، اولین کار این است:
۱. مساحت کل مقطع را حساب کنیم.
۲. نصف مساحت کل را به‌دست آوریم.
۳. ببینیم محور خنثی پلاستیک از کدام قسمت مقطع عبور می‌کند.
۴. سپس Zp را از مجموع لنگر اول نواحی نسبت به محور خنثی پلاستیک محاسبه کنیم.
رابطه کلی محاسبه Zp:
برای همه مقاطع مرکب می‌توان از این رابطه مفهومی استفاده کرد:
Zp = Σ(Ai × yi)
در این رابطه:
Ai = مساحت هر بخش از مقطع
yi = فاصله مرکز آن بخش تا محور خنثی پلاستیک
پس Zp یعنی مجموع حاصل‌ضرب مساحت هر قسمت در فاصله مرکز آن قسمت تا محور خنثی پلاستیک.
گام‌های عمومی محاسبه Zp در مقاطع مرکب:
گام اول: مقطع را به چند مستطیل ساده تقسیم کنید.
برای مثال، مقطع T از دو مستطیل تشکیل می‌شود:
بال فوقانی
جان قائم
مقطع L نیز از دو مستطیل تشکیل می‌شود:
یک ساق افقی
یک ساق قائم
گام دوم: مساحت هر مستطیل را محاسبه کنید.
گام سوم: مساحت کل مقطع را به‌دست آورید.
A = A۱ + A۲ + ...
گام چهارم: نصف مساحت کل را محاسبه کنید.
A / ۲
گام پنجم: محل محور خنثی پلاستیک را پیدا کنید.
محور خنثی پلاستیک باید طوری قرار بگیرد که سطح یک طرف آن برابر نصف مساحت کل باشد.
گام ششم: فاصله مرکز هر ناحیه تا محور خنثی پلاستیک را پیدا کنید.
گام هفتم: Zp را از مجموع Ai × yi محاسبه کنید.
محاسبه Zp برای مقطع T شکل:
فرض کنید یک مقطع T شکل داریم با مشخصات زیر:
عرض بال = bf
ضخامت بال = tf
ضخامت جان = tw
ارتفاع کل مقطع = h
بنابراین ارتفاع جان زیر بال برابر است با:
hw = h - tf
مقطع T را به دو مستطیل تقسیم می‌کنیم:
۱. بال:
Af = bf × tf
۲. جان:
Aw = tw × (h - tf)
پس مساحت کل مقطع برابر است با:
A = Af + Aw
A = bf tf + tw(h - tf)
اکنون نصف مساحت کل را محاسبه می‌کنیم:
A / ۲
حالا باید ببینیم این نصف مساحت در کجای مقطع قرار می‌گیرد.
حالت اول: محور خنثی پلاستیک داخل بال قرار می‌گیرد
اگر نصف مساحت کل، کمتر از مساحت بال باشد، یعنی:
A / ۲ < Af
در این حالت، محور خنثی پلاستیک داخل بال قرار می‌گیرد.
در این حالت، فاصله محور خنثی پلاستیک از بالای مقطع برابر است با:
yp = (A / ۲) / bf
چون بال یک مستطیل با عرض bf است و باید آن‌قدر از ارتفاع بال پایین بیاییم که مساحت بالای محور برابر A / ۲ شود.
حالت دوم: محور خنثی پلاستیک دقیقاً در مرز بال و جان قرار می‌گیرد
اگر نصف مساحت کل دقیقاً برابر مساحت بال باشد، یعنی:
A / ۲ = Af
در این حالت، محور خنثی پلاستیک دقیقاً در محل اتصال بال و جان قرار می‌گیرد.
یعنی:
yp = tf
این حالت بسیار مهم و آزمونی است.
حالت سوم: محور خنثی پلاستیک داخل جان قرار می‌گیرد
اگر نصف مساحت کل بیشتر از مساحت بال باشد، یعنی:
A / ۲ > Af
در این حالت، تمام بال در یک طرف محور قرار می‌گیرد و محور خنثی پلاستیک وارد جان می‌شود.
در این حالت، فاصله محور از بالای مقطع برابر است با:
yp = tf + (A / ۲ - Af) / tw
در این رابطه:
A / ۲ - Af
یعنی مقدار مساحتی که بعد از پر شدن کل بال، هنوز لازم داریم تا به نصف مساحت کل برسیم.
چون این مقدار داخل جان قرار می‌گیرد، آن را بر ضخامت جان tw تقسیم می‌کنیم تا ارتفاع لازم در جان به‌دست آید.
مثال دقیق برای مقطع T شکل:
فرض کنید مقطع T شکل زیر را داریم:
bf = ۱۲۰ mm
tf = ۲۰ mm
tw = ۲۰ mm
ارتفاع جان زیر بال = ۱۲۰ mm
ارتفاع کل مقطع = ۱۴۰ mm
ابتدا مساحت بال را حساب می‌کنیم:
Af = bf × tf
Af = ۱۲۰ × ۲۰
Af = ۲۴۰۰ mm²
مساحت جان:
Aw = tw × hw
Aw = ۲۰ × ۱۲۰
Aw = ۲۴۰۰ mm²
مساحت کل:
A = Af + Aw
A = ۲۴۰۰ + ۲۴۰۰
A = ۴۸۰۰ mm²
نصف مساحت کل:
A / ۲ = ۲۴۰۰ mm²
اکنون می‌بینیم:
A / ۲ = Af
یعنی نصف مساحت کل دقیقاً برابر مساحت بال است.
پس محور خنثی پلاستیک دقیقاً در مرز بال و جان قرار می‌گیرد.
بنابراین:
yp = ۲۰ mm از بالای مقطع
اکنون Zp را حساب می‌کنیم.
بال در ناحیه فشاری قرار دارد:
Af = ۲۴۰۰ mm²
مرکز بال در وسط ضخامت آن است، یعنی ۱۰ mm از بالای مقطع.
محور خنثی پلاستیک ۲۰ mm از بالای مقطع فاصله دارد.
پس فاصله مرکز بال تا محور خنثی پلاستیک:
yc = ۲۰ - ۱۰ = ۱۰ mm
جان در ناحیه کششی قرار دارد:
Aw = ۲۴۰۰ mm²
مرکز جان در وسط ارتفاع ۱۲۰ میلی‌متری جان قرار دارد.
فاصله مرکز جان از بالای مقطع:
yw از بالا = ۲۰ + ۱۲۰ / ۲
yw از بالا = ۲۰ + ۶۰
yw از بالا = ۸۰ mm
محور خنثی پلاستیک در ۲۰ mm از بالا قرار دارد.
پس فاصله مرکز جان تا محور خنثی پلاستیک:
yt = ۸۰ - ۲۰ = ۶۰ mm
اکنون:
Zp = Af × yc + Aw × yt
Zp = ۲۴۰۰ × ۱۰ + ۲۴۰۰ × ۶۰
Zp = ۲۴۰۰۰ + ۱۴۴۰۰۰
Zp = ۱۶۸۰۰۰ mm³
پس اساس مقطع پلاستیک این مقطع T برابر است با:
Zp = ۱۶۸۰۰۰ mm³
نکته مهم در مقطع T:
در مقطع T، محور خنثی پلاستیک الزاماً از مرکز سطح مقطع عبور نمی‌کند.
برای مثال، در همین مقطع:
محور خنثی پلاستیک در فاصله ۲۰ mm از بالا قرار گرفت.
اما محور خنثی الاستیک یا مرکز سطح در جای دیگری قرار می‌گیرد.
پس نباید محور خنثی الاستیک و پلاستیک را با هم اشتباه بگیریم.
محاسبه Zp برای مقطع L شکل:
مقطع L شکل نیز معمولاً از دو مستطیل تشکیل می‌شود.
اما در مقطع L باید دقت کنیم که دو مستطیل در گوشه مشترک، یک ناحیه مشترک دارند. اگر مقطع را به دو مستطیل بزرگ تقسیم کنیم، نباید ناحیه مشترک را دوبار حساب کنیم.
برای ساده‌سازی، بهتر است مقطع L را به دو مستطیل بدون هم‌پوشانی تقسیم کنیم.
مثلاً:
یک مستطیل قائم
یک مستطیل افقیِ باقی‌مانده بدون تکرار گوشه مشترک
سپس همان مراحل را انجام می‌دهیم:
۱. مساحت هر بخش را حساب می‌کنیم.
۲. مساحت کل را به‌دست می‌آوریم.
۳. نصف مساحت کل را محاسبه می‌کنیم.
۴. محل محور خنثی پلاستیک را بر اساس برابری مساحت‌ها پیدا می‌کنیم.
۵. فاصله مرکز هر بخش تا محور خنثی پلاستیک را محاسبه می‌کنیم.
۶. Zp را از مجموع Ai × yi به‌دست می‌آوریم.
نکته مهم درباره مقطع L:
مقطع L نامتقارن است.
بنابراین معمولاً محور خنثی پلاستیک با محور خنثی الاستیک منطبق نیست.
در مقاطع نامتقارن، پیدا کردن محور خنثی پلاستیک مهم‌ترین بخش حل است.
اگر محور خنثی پلاستیک اشتباه پیدا شود، کل محاسبه Zp اشتباه می‌شود.
دام آموزشی رایج:
در مقاطع مرکب، چند اشتباه رایج وجود دارد:
۱. استفاده از مرکز سطح به جای محور خنثی پلاستیک
۲. تقسیم نکردن درست مقطع به مستطیل‌های ساده
۳. دوبار حساب کردن ناحیه مشترک در مقاطع L یا T
۴. فراموش کردن اینکه محور خنثی پلاستیک باید مساحت‌ها را مساوی کند
۵. استفاده از فرمول مستطیل برای مقطع مرکب
قاعده طلایی:
برای محاسبه Zp در هر مقطع مرکب:
فرمول حفظ نکنید.
اول مقطع را به مستطیل‌های ساده تقسیم کنید.
بعد محور خنثی پلاستیک را از شرط برابری مساحت‌ها پیدا کنید.
بعد مجموع Ai × yi را حساب کنید.
جمع‌بندی:
در مقاطع مرکب مانند T و L، اساس مقطع پلاستیک با یک فرمول ثابت حفظی به‌دست نمی‌آید.
روش درست این است که مقطع به چند بخش ساده تقسیم شود.
محور خنثی پلاستیک باید مساحت فشاری و کششی را برابر کند.
بعد از تعیین محور خنثی پلاستیک، Zp از رابطه زیر محاسبه می‌شود:
Zp = Σ(Ai × yi)
در مقطع T، محور خنثی پلاستیک ممکن است داخل بال، روی مرز بال و جان، یا داخل جان قرار بگیرد.
در مقطع L، باید مراقب ناحیه مشترک و نامتقارن بودن مقطع بود.
تمرین کوتاه:
برای یک مقطع T با مشخصات زیر، ابتدا فقط محل محور خنثی پلاستیک را تعیین کنید:
bf = ۱۵۰ mm
tf = ۲۰ mm
tw = ۲۵ mm
hw = ۱۰۰ mm
راهنمای حل:
ابتدا Af را حساب کنید.
سپس Aw را حساب کنید.
بعد A / ۲ را به‌دست آورید.
اگر A / ۲ کمتر از Af باشد، محور داخل بال است.
اگر برابر Af باشد، محور روی مرز بال و جان است.
اگر بیشتر از Af باشد، محور داخل جان است.
