محاسبه اساس مقطع پلاستیک برای مقطع مستطیلی
هدف:
در این قسمت یاد می‌گیریم اساس مقطع پلاستیک یا Zp را برای ساده‌ترین مقطع، یعنی مقطع مستطیلی، محاسبه کنیم. این مثال پایه‌ای است و اگر خوب فهمیده شود، محاسبه Zp برای مقاطع مرکب مثل T، I و L بسیار ساده‌تر خواهد شد.
یادآوری کوتاه:
اساس مقطع پلاستیک یک ویژگی هندسی مقطع است و نشان می‌دهد مقطع در حالت پلاستیک کامل، از نظر شکل و ابعاد، چه ظرفیتی برای تحمل خمش دارد.
رابطه‌ی کلی ظرفیت خمشی پلاستیک چنین است:
Mp = Fy × Zp
در این رابطه:
Mp = لنگر پلاستیک مقطع
Fy = تنش تسلیم فولاد
Zp = اساس مقطع پلاستیک
در این قسمت، فقط می‌خواهیم Zp را برای مقطع مستطیلی به‌دست آوریم.
فرض مقطع:
یک مقطع مستطیلی داریم با:
عرض مقطع = b
ارتفاع مقطع = h
مقطع نسبت به محور افقی وسط ارتفاع، متقارن است. بنابراین محور خنثی پلاستیک از وسط ارتفاع عبور می‌کند.
گام اول: تعیین محور خنثی پلاستیک
در حالت پلاستیک، محور خنثی پلاستیک باید مقطع را به دو قسمت با مساحت مساوی تقسیم کند.
چون مقطع مستطیلی متقارن است، اگر آن را از وسط ارتفاع تقسیم کنیم، مساحت بالا و پایین برابر می‌شود.
پس:
ارتفاع ناحیه فشاری = h / ۲
ارتفاع ناحیه کششی = h / ۲
بنابراین محور خنثی پلاستیک در وسط ارتفاع مقطع قرار دارد.
گام دوم: محاسبه مساحت ناحیه فشاری و کششی
مساحت کل مقطع برابر است با:
A = b × h
چون محور خنثی پلاستیک مقطع را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند، مساحت هر ناحیه برابر است با نصف مساحت کل:
Ac = A / ۲
At = A / ۲
پس:
Ac = b × h / ۲
At = b × h / ۲
در اینجا:
Ac = مساحت ناحیه فشاری
At = مساحت ناحیه کششی
گام سوم: تعیین فاصله مرکز هر ناحیه تا محور خنثی پلاستیک
ناحیه فشاری یک مستطیل با ارتفاع h / ۲ است.
مرکز این ناحیه در وسط خودش قرار دارد. بنابراین فاصله مرکز ناحیه فشاری تا محور خنثی پلاستیک برابر است با:
yc = h / ۴
همین موضوع برای ناحیه کششی نیز برقرار است. پس:
yt = h / ۴
در نتیجه:
فاصله مرکز ناحیه فشاری تا محور خنثی پلاستیک = h / ۴
فاصله مرکز ناحیه کششی تا محور خنثی پلاستیک = h / ۴
گام چهارم: محاسبه اساس مقطع پلاستیک
اساس مقطع پلاستیک از مجموع لنگر اول نواحی فشاری و کششی نسبت به محور خنثی پلاستیک به‌دست می‌آید.
یعنی:
Zp = Ac × yc + At × yt
اکنون مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:
Zp = (b h / ۲)(h / ۴) + (b h / ۲)(h / ۴)
چون دو جمله برابرند، داریم:
Zp = ۲ × (b h / ۲)(h / ۴)
ابتدا ساده می‌کنیم:
Zp = b h × h / ۴
پس:
Zp = b h² / ۴
فرمول نهایی:
برای مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h:
Zp = b h² / ۴
تفسیر ساده فرمول:
در مقطع مستطیلی، اساس مقطع پلاستیک با عرض مقطع رابطه مستقیم دارد و با مربع ارتفاع مقطع تغییر می‌کند.
یعنی اگر عرض b دو برابر شود، Zp نیز دو برابر می‌شود.
اما اگر ارتفاع h دو برابر شود، Zp چهار برابر می‌شود.
پس ارتفاع مقطع در ظرفیت خمشی پلاستیک اثر بسیار مهم‌تری از عرض دارد.
مقایسه با اساس مقطع الاستیک:
برای مقطع مستطیلی، اساس مقطع الاستیک برابر است با:
S = b h² / ۶
اما اساس مقطع پلاستیک برابر است با:
Zp = b h² / ۴
بنابراین Zp از S بزرگ‌تر است.
نسبت این دو مقدار برابر است با:
Zp / S = (b h² / ۴) / (b h² / ۶)
Zp / S = ۶ / ۴
Zp / S = ۱.۵
پس برای مقطع مستطیلی:
Zp = ۱.۵ S
این نسبت را ضریب شکل یا Shape Factor می‌نامند.
معنای ضریب شکل برای مستطیل:
وقتی دورترین الیاف مقطع به تنش تسلیم می‌رسند، مقطع تازه به ظرفیت الاستیک خود رسیده است.
اما اگر بارگذاری ادامه پیدا کند، قسمت‌های بیشتری از مقطع تسلیم می‌شوند تا کل ناحیه فشاری و کششی به تنش تسلیم برسد.
برای مقطع مستطیلی، ظرفیت پلاستیک ۱.۵ برابر ظرفیت الاستیک است.
یعنی:
Mp = ۱.۵ My
البته این نتیجه مخصوص مقطع مستطیلی است و برای همه مقاطع یکسان نیست.
مثال عددی:
فرض کنید یک مقطع مستطیلی فولادی داریم با:
b = ۱۰۰ mm
h = ۲۰۰ mm
می‌خواهیم Zp را حساب کنیم.
فرمول:
Zp = b h² / ۴
جایگذاری:
Zp = ۱۰۰ × ۲۰۰² / ۴
Zp = ۱۰۰ × ۴۰۰۰۰ / ۴
Zp = ۴۰۰۰۰۰۰ / ۴
Zp = ۱۰۰۰۰۰۰ mm³
پس اساس مقطع پلاستیک این مقطع برابر است با:
Zp = ۱,۰۰۰,۰۰۰ mm³
نکته:
برای محاسبه Zp، همیشه این ترتیب را رعایت کنید:
اول، محور خنثی پلاستیک را پیدا کنید.
دوم، مقطع را به نواحی فشاری و کششی تقسیم کنید.
سوم، مساحت هر ناحیه را حساب کنید.
چهارم، فاصله مرکز هر ناحیه تا محور خنثی پلاستیک را پیدا کنید.
پنجم، مجموع A × y را برای همه نواحی حساب کنید.
در مقطع مستطیلی، چون شکل متقارن است، همه چیز ساده می‌شود و محور خنثی پلاستیک در وسط ارتفاع قرار می‌گیرد.
دام آموزشی رایج:
اشتباه رایج این است که دانشجو Zp را با S اشتباه می‌گیرد.
برای مستطیل:
S = b h² / ۶
اما:
Zp = b h² / ۴
پس اگر سؤال درباره اساس مقطع پلاستیک باشد، نباید فرمول الاستیک را بنویسیم.
جمع‌بندی:
برای مقطع مستطیلی:
محور خنثی پلاستیک از وسط ارتفاع عبور می‌کند.
مساحت ناحیه فشاری و کششی برابر است.
فاصله مرکز هر نیمه تا محور خنثی پلاستیک برابر h / ۴ است.
فرمول نهایی اساس مقطع پلاستیک:
Zp = b h² / ۴
و برای مقطع مستطیلی:
Zp = ۱.۵ S
تمرین کوتاه:
برای مقطع مستطیلی با عرض ۱۵۰ میلی‌متر و ارتفاع ۳۰۰ میلی‌متر، مقدار Zp را محاسبه کنید.
راهنمای حل:
Zp = b h² / ۴
Zp = ۱۵۰ × ۳۰۰² / ۴
ابتدا ۳۰۰² را حساب کنید، سپس در ۱۵۰ ضرب کنید و حاصل را بر ۴ تقسیم کنید.