روش عمومی محاسبه حجم بتن دال و تیرهای پیرامونی با ابعاد متغیر
در محاسبه حجم بتن سقف‌های دال بتنی یکپارچه با تیرهای پیرامونی، ابتدا باید ابعاد هندسی دال و تیرها تعیین شود. سپس حجم بتن اجزا به‌گونه‌ای محاسبه گردد که قسمت‌های مشترک تنها یک‌بار منظور شوند.
در این آموزش، یک سقف مستطیلی با چهار تیر پیرامونی و ستون‌های گوشه بررسی می‌شود. روابط ارائه‌شده برای ابعاد مختلف قابل استفاده هستند.
۱. تعریف پارامترهای هندسی
X: فاصله محور تا محور ستون‌ها در راستای اول، بر حسب متر.
Y: فاصله محور تا محور ستون‌ها در راستای دوم، بر حسب متر.
b: عرض تیرهای پیرامونی، بر حسب متر.
H: ارتفاع کل تیرها، شامل ضخامت دال، بر حسب متر.
t: ضخامت دال بتنی، بر حسب متر.
V: حجم کل بتن دال و تیرهای پیرامونی، بر حسب مترمکعب.
فرض‌های محاسباتی:
۱. پلان سقف مستطیلی است.
۲. تیرهای پیرامونی دارای عرض و ارتفاع یکسان هستند.
۳. محور تیرها با محور ستون‌های گوشه منطبق است.
۴. دال و تیرها به‌صورت یکپارچه اجرا می‌شوند.
۵. ضخامت دال در تمام سطح سقف ثابت است.
۶. ارتفاع H از روی دال تا زیر تیر اندازه‌گیری می‌شود و شامل ضخامت دال است.
۷. محدوده سقف تا لبه خارجی تیرهای پیرامونی امتداد دارد.
۸. محل تقاطع تیرهای پیرامونی و ستون‌ها فقط یک‌بار در حجم بتن منظور می‌شود و حجم ستون‌ها در خارج از محدوده سقف محاسبه نمی‌شود.
۹. فرض می‌شود H بزرگ‌تر یا مساوی t باشد و ابعاد داخلی بین تیرها مثبت باشند.
۲. تعیین ابعاد خارجی سقف
اگر X و Y فاصله محور تا محور ستون‌ها باشند و تیرها به عرض b در دو طرف محور قرار گرفته باشند، ابعاد خارجی سقف عبارت‌اند از:
طول خارجی = X + b
عرض خارجی = Y + b
بنابراین مساحت خارجی سقف برابر است با:
Aخارجی = (X + b) × (Y + b)
۳. محاسبه حجم دال بتنی
حجم دال از ضرب مساحت خارجی سقف در ضخامت دال تعیین می‌شود.
Vدال = (X + b) × (Y + b) × t
در این روش، حجم بتن دال در قسمت بالای تیرهای پیرامونی نیز محاسبه شده است.
بنابراین هنگام محاسبه حجم تیرها، باید از محاسبه مجدد این بخش جلوگیری شود.
۴. تعیین ارتفاع مؤثر تیرها در زیر دال
با توجه به اینکه ارتفاع کل تیر برابر H و ضخامت دال برابر t است، ارتفاع قسمت زیر دال از رابطه زیر تعیین می‌شود:
hمؤثر = H - t
بنابراین برای محاسبه حجم اضافی تیرها، از ارتفاع H - t استفاده می‌شود، نه ارتفاع کامل H.
۵. محاسبه ابعاد داخلی بین تیرهای پیرامونی
با فرض یکسان بودن عرض تمام تیرها و انطباق محور تیرها با محور ستون‌ها:
طول داخلی = X - b
عرض داخلی = Y - b
بنابراین مساحت فضای داخلی محصور بین تیرهای پیرامونی برابر است با:
Aداخلی = (X - b) × (Y - b)
۶. محاسبه مساحت افقی اشغال‌شده توسط تیرهای پیرامونی
مساحت افقی تیرهای پیرامونی برابر اختلاف مساحت خارجی سقف و مساحت داخلی محصور بین تیرهاست.
Aتیرها = Aخارجی - Aداخلی
با جای‌گذاری روابط:
Aتیرها = (X + b)(Y + b) - (X - b)(Y - b)
با بسط عبارت‌ها:
Aتیرها = XY + Xb + Yb + b² - XY + Xb + Yb - b²
پس از ساده‌سازی:
Aتیرها = ۲b(X + Y)
این رابطه، مساحت افقی تیرهای پیرامونی را بدون محاسبه تکراری نواحی تقاطع آنها تعیین می‌کند.
۷. محاسبه حجم قسمت زیر دال تیرهای پیرامونی
حجم قسمت زیر دال تیرها برابر مساحت افقی اشغال‌شده توسط آنها در ارتفاع مؤثر است.
Vتیرها = Aتیرها × (H - t)
بنابراین:
Vتیرها = ۲b(X + Y)(H - t)
۸. رابطه نهایی محاسبه حجم کل بتن
حجم کل بتن سقف برابر مجموع حجم دال و حجم قسمت زیر دال تیرهای پیرامونی است.
V = Vدال + Vتیرها
با جای‌گذاری روابط:
V = (X + b)(Y + b)t + ۲b(X + Y)(H - t)
این رابطه، فرمول عمومی محاسبه حجم بتن دال و تیرهای پیرامونی در شرایط هندسی تعریف‌شده است.
در صورت استفاده از ابعاد بر حسب متر، نتیجه بر حسب مترمکعب خواهد بود.
۹. روش جایگزین برای کنترل صحت محاسبات
می‌توان همین حجم را با روش دیگری نیز محاسبه کرد.
در این روش، ابتدا حجم قسمت داخلی دال بین تیرها محاسبه می‌شود و سپس حجم تیرهای پیرامونی با ارتفاع کامل H به آن اضافه می‌گردد.
حجم دال داخلی:
Vدال داخلی = (X - b)(Y - b)t
حجم کامل تیرهای پیرامونی:
Vتیر کامل = ۲b(X + Y)H
بنابراین:
V = (X - b)(Y - b)t + ۲b(X + Y)H
این رابطه از نظر جبری با رابطه مرحله هشتم برابر است.
یکسان بودن نتیجه دو روش، راه مناسبی برای کنترل صحت محاسبات محسوب می‌شود.
۱۰. شرایطی که رابطه عمومی نیازمند اصلاح است
رابطه ارائه‌شده برای همه شکل‌های هندسی قابل استفاده نیست.
در موارد زیر باید هندسه واقعی سقف بررسی و حجم اجزا جداگانه محاسبه شود:
۱. تیرهای پیرامونی دارای عرض‌های متفاوت باشند.
۲. تیرها نسبت به محور ستون‌ها خروج از مرکزیت داشته باشند.
۳. ارتفاع تیرها در اضلاع مختلف یکسان نباشد.
۴. ضخامت دال در بخش‌های مختلف تغییر کند.
۵. پلان سقف نامنظم یا دارای بازشو باشد.
۶. لبه دال از لبه خارجی تیرها جلوتر یا عقب‌تر قرار گیرد.
۷. تیرها دارای مقطع متغیر، پخ یا شکل هندسی غیرمستطیلی باشند.
در چنین شرایطی، باید حجم هر بخش با توجه به ابعاد واقعی تعیین شود و نواحی مشترک از محاسبات حذف شوند.
۱۱. نکات کلیدی آزمونی
۱. ابتدا مشخص کنید X و Y فاصله محور تا محور هستند یا ابعاد خارجی سقف.
۲. در حالت تیرهای هم‌عرض و هم‌محور با ستون‌ها، ابعاد خارجی سقف برابر X + b و Y + b است.
۳. اگر حجم کامل دال محاسبه شده باشد، ارتفاع مؤثر قسمت زیر دال تیرها برابر H - t است.
۴. برای تیرهای پیرامونی با عرض یکسان، مساحت افقی اشغال‌شده توسط آنها برابر ۲b(X + Y) است.
۵. نواحی تقاطع تیرها با یکدیگر نباید دوبار محاسبه شوند.
۶. محل تلاقی تیر و ستون باید مطابق فرض مسئله یا قرارداد متره منظور شود.
۷. رابطه نهایی فقط در صورت برقرار بودن فرض‌های هندسی معرفی‌شده معتبر است.
۸. تمام ابعاد باید پیش از جای‌گذاری در روابط به واحد متر تبدیل شوند.
۹. حجم حاصل، مقدار هندسی و نظری بتن است و لزوماً برابر مقدار سفارش بتن با احتساب پرت اجرایی نخواهد بود.
نتیجه آموزشی:
برای یک سقف مستطیلی با تیرهای پیرامونی هم‌عرض و هم‌ارتفاع و با محورهای منطبق بر محور ستون‌ها، حجم کل بتن دال و تیرها از رابطه زیر تعیین می‌شود:
V = (X + b)(Y + b)t + ۲b(X + Y)(H - t)
در این رابطه، X و Y فاصله محور تا محور ستون‌ها، b عرض تیر، H ارتفاع کل تیر و t ضخامت دال است.
این روش از محاسبه تکراری حجم بتن در محل اشتراک دال و تیرهای پیرامونی جلوگیری می‌کند.
