هدف این جزوه:
در جزوه‌های قبل، ابتدا رفتار تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت را شناختیم و سپس مفهوم مفصل خمشی داخلی را بررسی کردیم.
در این بخش می‌خواهیم ببینیم اگر در وسط یک تیر دو سر گیردار، یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، سیستم سازه‌ای چگونه تغییر می‌کند و هر قسمت تیر چه رفتاری پیدا می‌کند.
صورت مسئله:
یک تیر به طول L داریم که دو انتهای آن گیردار است و در تمام طول تیر، بار گسترده یکنواخت q وارد می‌شود.
اکنون در وسط دهانه، یعنی در نقطه‌ای با فاصله L/۲ از هر تکیه‌گاه، یک مفصل خمشی داخلی ایجاد می‌شود.
پس داریم:
طول کل تیر = L
محل مفصل داخلی = وسط دهانه
طول هر نیمه تیر = L/۲
بار گسترده یکنواخت روی کل تیر = q
یادآوری مهم درباره مفصل خمشی داخلی:
مفصل خمشی داخلی لنگر خمشی را منتقل نمی‌کند.
بنابراین در محل مفصل داریم:
M_hinge = ۰
یعنی لنگر خمشی در وسط تیر، دقیقاً در محل مفصل داخلی، صفر است.
اما این به معنی آن نیست که تیر در آن نقطه کاملاً قطع شده یا بار را تحمل نمی‌کند. مفصل داخلی فقط انتقال لنگر خمشی را قطع می‌کند؛ ولی دو بخش تیر همچنان از نظر جابه‌جایی در محل مفصل به هم متصل هستند.
اثر اصلی ایجاد مفصل در وسط تیر:
قبل از ایجاد مفصل، تیر یک عضو پیوسته از تکیه‌گاه چپ تا تکیه‌گاه راست بود و لنگر خمشی می‌توانست در طول تیر منتقل شود.
اما پس از ایجاد مفصل در وسط تیر، انتقال لنگر خمشی در همان نقطه قطع می‌شود.
در نتیجه، از نظر خمشی، تیر به دو بخش تقسیم می‌شود:
نیمه چپ تیر، از تکیه‌گاه گیردار چپ تا مفصل وسط؛
نیمه راست تیر، از مفصل وسط تا تکیه‌گاه گیردار راست.
چرا هر نیمه تیر مانند یک تیر طره‌ای رفتار می‌کند؟
به دلیل تقارن هندسه و بارگذاری، رفتار دو نیمه تیر مشابه است.
در محل وسط تیر، مفصل داخلی قرار دارد و لنگر خمشی در آن صفر است:
M = ۰
همچنین به دلیل تقارن بارگذاری، نیروی برشی در وسط دهانه نیز صفر می‌شود.
بنابراین در هر نیمه تیر، انتهای نزدیک به تکیه‌گاه گیردار، کاملاً مهار شده است؛ اما انتهای نزدیک به مفصل، از نظر لنگر و برش در حالت آزاد قرار می‌گیرد.
به همین دلیل، هر نیمه تیر را می‌توان مانند یک تیر طره‌ای با طول L/۲ در نظر گرفت.
پس پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر:
نیمه چپ = تیر طره‌ای به طول L/۲ با انتهای گیردار در چپ
نیمه راست = تیر طره‌ای به طول L/۲ با انتهای گیردار در راست
رفتار نیمه چپ تیر:
نیمه چپ تیر از تکیه‌گاه گیردار A تا مفصل داخلی وسط دهانه ادامه دارد.
طول این نیمه برابر است با:
l = L/۲
این نیمه تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد.
در انتهای چپ، تکیه‌گاه گیردار وجود دارد.
در انتهای راست این نیمه، یعنی محل مفصل داخلی، لنگر خمشی صفر است.
پس نیمه چپ مانند یک تیر طره‌ای تحت بار گسترده یکنواخت رفتار می‌کند.
رفتار نیمه راست تیر:
نیمه راست تیر نیز از مفصل داخلی وسط دهانه تا تکیه‌گاه گیردار B ادامه دارد.
طول این نیمه نیز برابر است با:
l = L/۲
این نیمه نیز تحت همان بار گسترده یکنواخت q قرار دارد.
در انتهای راست، تکیه‌گاه گیردار وجود دارد.
در انتهای چپ این نیمه، یعنی محل مفصل داخلی، لنگر خمشی صفر است.
پس نیمه راست نیز مانند یک تیر طره‌ای تحت بار گسترده یکنواخت رفتار می‌کند.
نتیجه مهم تحلیلی:
بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، دیگر نباید کل تیر را مثل یک تیر دو سر گیردار پیوسته تحلیل کنیم.
بلکه باید تیر را به دو نیمه تقسیم کنیم.
هر نیمه طولی برابر L/۲ دارد و مانند یک طره تحت بار گسترده یکنواخت q عمل می‌کند.
این تغییر سیستم سازه‌ای، توزیع لنگر خمشی را تغییر می‌دهد.
محاسبه لنگر هر نیمه پس از ایجاد مفصل:
برای یک تیر طره‌ای به طول l تحت بار گسترده یکنواخت q، حداکثر لنگر خمشی در انتهای گیردار برابر است با:
Mmax = ql² / ۲
در این مسئله، طول هر نیمه تیر برابر است با:
l = L/۲
پس:
Mmax = q(L/۲)² / ۲
اکنون ساده می‌کنیم:
Mmax = qL² / ۸
بنابراین پس از ایجاد مفصل در وسط تیر، حداکثر لنگر خمشی در دو انتهای گیردار تیر برابر است با:
Mmax(after) = qL² / ۸
محل وقوع حداکثر لنگر بعد از ایجاد مفصل:
پس از ایجاد مفصل، لنگر در محل مفصل داخلی صفر است.
اما در انتهای گیردار هر نیمه، لنگر خمشی بیشینه می‌شود.
بنابراین حداکثر لنگر بعد از ایجاد مفصل، در دو انتهای گیردار تیر رخ می‌دهد، نه در محل مفصل.
نکته بسیار مهم:
ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر باعث می‌شود لنگر در همان نقطه صفر شود.
اما این موضوع به‌تنهایی نشان نمی‌دهد که حداکثر لنگر کل تیر کاهش پیدا کرده است.
برای قضاوت درباره افزایش یا کاهش حداکثر لنگر، باید مقدار حداکثر لنگر قبل و بعد از ایجاد مفصل را با هم مقایسه کنیم.
این مقایسه را در جزوه بعدی انجام می‌دهیم.
دام آزمونی:
یکی از اشتباهات رایج این است که دانشجو تصور می‌کند چون مفصل داخلی لنگر را صفر می‌کند، پس حداکثر لنگر تیر حتماً کمتر می‌شود.
اما در این مسئله، مفصل فقط لنگر وسط دهانه را صفر می‌کند.
در عوض، رفتار دو نیمه تیر تغییر می‌کند و هر نیمه مانند یک طره عمل می‌کند.
پس نتیجه نهایی فقط با تحلیل سیستم جدید مشخص می‌شود، نه با حدس.
جمع‌بندی:
با ایجاد مفصل خمشی داخلی در وسط تیر دو سر گیردار:
لنگر خمشی در محل مفصل صفر می‌شود.
تیر از نظر خمشی به دو نیمه تقسیم می‌شود.
به دلیل تقارن، هر نیمه تیر مانند یک تیر طره‌ای به طول L/۲ رفتار می‌کند.
برای هر نیمه تیر داریم:
l = L/۲
برای تیر طره‌ای تحت بار گسترده یکنواخت:
Mmax = ql² / ۲
پس پس از ایجاد مفصل داخلی:
Mmax(after) = qL² / ۸
این مقدار، حداکثر لنگر خمشی تیر پس از ایجاد مفصل است.
تمرین کوتاه:
اگر طول تیر برابر ۸ متر و بار گسترده یکنواخت q = ۱۲ kN/m باشد، پس از ایجاد مفصل در وسط تیر، طول هر نیمه تیر چقدر است و حداکثر لنگر هر نیمه چقدر می‌شود؟
راهنمای حل:
طول هر نیمه:
l = L/۲ = ۸/۲ = ۴ m
رابطه تیر طره‌ای:
Mmax = ql² / ۲
جایگذاری:
Mmax = ۱۲ × ۴² / ۲
Mmax = ۱۲ × ۱۶ / ۲
Mmax = ۹۶ kN.m
پس پس از ایجاد مفصل در وسط تیر، حداکثر لنگر خمشی هر نیمه برابر است با:
۹۶ kN.m
