هدف این جزوه:
در جزوه‌های قبل فهمیدیم که تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت، در حالت اولیه دارای حداکثر لنگر خمشی در تکیه‌گاه‌ها است. همچنین دیدیم که اگر در وسط تیر مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، تیر از نظر خمشی به دو نیمه تبدیل می‌شود و هر نیمه مانند یک طره به طول L/۲ رفتار می‌کند.
در این جزوه می‌خواهیم این دو حالت را با هم مقایسه کنیم و ببینیم حداکثر لنگر خمشی تیر پس از ایجاد مفصل، نسبت به حالت اولیه چه تغییری می‌کند.
صورت مسئله:
یک تیر دو سر گیردار به طول L تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد.
می‌خواهیم بدانیم اگر در وسط دهانه تیر یک مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر لنگر خمشی در طول تیر چند برابر حالت قبل می‌شود.
حالت اول: قبل از ایجاد مفصل داخلی
در حالت اولیه، تیر یک تیر دو سر گیردار پیوسته است.
برای تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q، حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی در دو انتهای گیردار ایجاد می‌شود.
مقدار این لنگر برابر است با:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
این مقدار همان بیشترین قدرمطلق لنگر خمشی تیر در حالت قبل از ایجاد مفصل است.
حالت دوم: بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر
پس از ایجاد مفصل خمشی داخلی در وسط دهانه، لنگر خمشی در محل مفصل صفر می‌شود:
M_hinge = ۰
به دلیل تقارن هندسه و بارگذاری، تیر از نظر خمشی به دو نیمه مشابه تقسیم می‌شود.
طول هر نیمه برابر است با:
l = L / ۲
هر نیمه مانند یک تیر طره‌ای به طول L/۲ تحت بار گسترده یکنواخت q رفتار می‌کند.
برای یک تیر طره‌ای به طول l تحت بار گسترده یکنواخت q، حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی در انتهای گیردار برابر است با:
Mmax = ql² / ۲
اکنون چون:
l = L / ۲
داریم:
Mmax(after) = q(L/۲)² / ۲
ابتدا توان دوم را حساب می‌کنیم:
(L/۲)² = L² / ۴
پس:
Mmax(after) = q(L²/۴) / ۲
بنابراین:
Mmax(after) = qL² / ۸
پس پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، حداکثر قدرمطلق لنگر خمشی برابر است با:
Mmax(after) = qL² / ۸
مقایسه قبل و بعد از ایجاد مفصل:
اکنون دو مقدار مهم را داریم:
قبل از ایجاد مفصل:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
بعد از ایجاد مفصل:
Mmax(after) = qL² / ۸
برای فهمیدن مقدار تغییر، نسبت بعد به قبل را محاسبه می‌کنیم:
نسبت تغییر = Mmax(after) / Mmax(before)
جایگذاری می‌کنیم:
نسبت تغییر = (qL² / ۸) / (qL² / ۱۲)
عبارت qL² در صورت و مخرج مشترک است و حذف می‌شود:
نسبت تغییر = ۱۲ / ۸
ساده می‌کنیم:
نسبت تغییر = ۳ / ۲
پس:
نسبت تغییر = ۱.۵
بنابراین حداکثر لنگر خمشی پس از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر، ۱٫۵ برابر حالت قبل می‌شود.
تفسیر نتیجه:
در نگاه اول ممکن است تصور شود چون مفصل داخلی لنگر را در وسط تیر صفر می‌کند، حداکثر لنگر خمشی باید کاهش پیدا کند.
اما این برداشت درست نیست.
مفصل داخلی فقط لنگر همان نقطه را صفر می‌کند. در عوض، سیستم سازه‌ای تیر را تغییر می‌دهد. پس از ایجاد مفصل، هر نیمه تیر مانند یک طره عمل می‌کند و در انتهای گیردار هر نیمه، لنگر بزرگ‌تری نسبت به حالت اولیه ایجاد می‌شود.
پس در این مسئله:
لنگر وسط تیر صفر می‌شود؛
اما حداکثر لنگر در تکیه‌گاه‌های گیردار افزایش پیدا می‌کند.
نتیجه آزمونی:
قبل از ایجاد مفصل:
Mmax = qL² / ۱۲
بعد از ایجاد مفصل در وسط تیر:
Mmax = qL² / ۸
نسبت تغییر:
(qL² / ۸) ÷ (qL² / ۱۲) = ۱.۵
پس پاسخ آزمونی این است:
حداکثر لنگر خمشی ۱٫۵ برابر می‌شود.
دام آزمونی مهم:
دام اصلی این تست این است که داوطلب فقط به صفر شدن لنگر در محل مفصل توجه کند و نتیجه بگیرد که حداکثر لنگر خمشی کم می‌شود.
اما در تحلیل سازه، باید کل سیستم جدید بررسی شود.
ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر دو سر گیردار باعث می‌شود:
لنگر در وسط تیر صفر شود؛
تیر از نظر خمشی به دو نیمه طره‌ای تبدیل شود؛
حداکثر لنگر در تکیه‌گاه‌های گیردار افزایش یابد.
پس صفر شدن لنگر در یک نقطه، الزاماً به معنی کاهش حداکثر لنگر کل تیر نیست.
نکته آموزشی:
در مسائل مربوط به تغییر سیستم سازه‌ای، همیشه باید دو مرحله را جداگانه انجام دهید:
اول، حداکثر لنگر سیستم اولیه را محاسبه کنید.
دوم، سیستم جدید را بعد از تغییر تکیه‌گاه، مفصل یا اتصال تحلیل کنید.
سپس مقدار حداکثر لنگر قبل و بعد را با هم مقایسه کنید.
در این مسئله، سیستم اولیه تیر دو سر گیردار است، اما سیستم بعد از ایجاد مفصل، معادل دو طره به طول L/۲ است. بنابراین استفاده از رابطه تیر دو سر گیردار برای حالت بعد از ایجاد مفصل، اشتباه است.
جمع‌بندی جزوه ۴:
در تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت:
قبل از ایجاد مفصل داخلی:
Mmax(before) = qL² / ۱۲
بعد از ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر:
هر نیمه مانند طره‌ای به طول L/۲ رفتار می‌کند.
پس:
Mmax(after) = qL² / ۸
نسبت تغییر:
Mmax(after) / Mmax(before) = ۱.۵
بنابراین ایجاد مفصل داخلی در وسط تیر دو سر گیردار، در این مسئله باعث می‌شود حداکثر لنگر خمشی ۱٫۵ برابر شود.
تمرین کوتاه:
یک تیر دو سر گیردار تحت بار گسترده یکنواخت q قرار دارد. قبل از ایجاد مفصل، حداکثر لنگر خمشی آن برابر ۴۰ kN.m است.
اگر در وسط تیر مفصل خمشی داخلی ایجاد شود، حداکثر لنگر خمشی جدید چقدر می‌شود؟
راهنمای حل:
بعد از ایجاد مفصل، حداکثر لنگر ۱٫۵ برابر حالت قبل است.
پس:
Mmax(after) = ۱.۵ × ۴۰
Mmax(after) = ۶۰ kN.m
بنابراین حداکثر لنگر خمشی جدید برابر است با:
۶۰ kN.m